青森県2007年度 高校入試問題 第4問 です。
(3)の正解率はなんとAの座標が2.9％、bの値が1.7％。
これだけ正解率が低いと、入試本番では捨ててもいいですね。
この問題に時間をかけるより、他の問題やみなおしに時間を使ったほうが
有効でしょう。
しかし、本番以外ではどうやって解くのかを知っておくのは役に立ちます。
いろいろ考えてみよう。悩む価値はあります。
■ヒント
Aのx座標を t とおいて、方程式を作っていきます。
tはkでもいいし、pでもいいです。
媒介変数と呼ばれています。
■解説
Aのx座標をtとすると、Aはy＝2x+1上の点だから、
y＝2t＋1。
よって、A(t , 2t＋1)。
AとCはy軸について、対称な点だから、
C(-t , 2t＋1)。
よって、
AC＝2t。
△ACBと△ABDの面積の比が1：2。
この二つの三角形はAC、BDをそれぞれの底辺だと考えると、
高さは等しい。
つまり、底辺の比が1：2となる。
だから、AC：BD＝1：2。
AC＝2tだから、BD＝4t。
BD＝4tということは、Bのx座標は4tの半分の2tにマイナスをつけたものとなる。
つまり、-2t。
Bは y＝2x＋1上の点だから、x座標に-2tを代入するとy＝-4t＋1。
よってB(-2t , -4t＋1)。
すると、台形の高さは2t＋1－(－4t＋1)＝6t。
よって、面積が81/2であることをもとにtの方程式をつくると、
(2t＋4t)×6t÷2＝81/2
これを解くと、t＝±3/2。
Aのx座標はプラスだから、3/2。
A( 3/2 , 4 )
ここからbの値を求めます。
t＝3/2なので、B(-2t , -4t＋1)に代入すると、
B( -3 , -5)。
これをy＝bx^2の式に代入して、
b=-5/9
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